Financial Statistics and Econometrics: Homework 2

Financial Statistics and Econometrics(金融统计和计量)课程的第 2 次作业

第3次的作业可点击:Financial Statistics and Econometrics: Homework 3

Econometrics
Financial Statistics and Econometrics: Homework 2

第一部分

现有一组样本 Y_1,Y_2,\cdots,Y_n;X_1,X_2,\cdots,X_n. ,如果采用线性模型 Y_i=\alpha+\beta\cdot X_i+u_i\;

(a) 请推导 OLS 估计的过程,并算出估计量 \widehat\beta 的方差。

为推导 OLS 估计量,需要假设:

E(u)=0,Cov(u,X)=0,D(u_i)=\sigma_u^2,Cov(u_i,u_j)=0

假设 M:

M=\sum_{i=1}^nu_i^2=\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\widehat\alpha-\widehat\beta\cdot X_i\right)^2

分别对 \widehat\alpha 求一阶偏导:

\frac{\partial M}{\partial\widehat\alpha}=-2\sum_{i=1}^n(Y_i-\widehat\alpha-\widehat\beta\cdot X_i)
\frac{\displaystyle\partial M}{\displaystyle\partial\widehat\beta}=-2\sum_{i=1}^n(Y_i-\widehat\alpha-\widehat\beta\cdot X_i)\cdot X_i

\frac{\partial M}{\partial\widehat\alpha}=0,\frac{\displaystyle\partial M}{\displaystyle\partial\widehat\beta}=0,n\overline X=\sum_{i=1}^nX_i,n\overline Y=\sum_{i=1}^nY_i.

可得:

\widehat\alpha=\overline Y-\widehat\beta\cdot\overline X
\widehat\beta=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}X_iY_i-\overline Y{\displaystyle\sum_{i=1}^n}X_i}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}X_i^2-\overline X{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum X_i}}}}=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}(X_i-\overline X)(Y_i-\overline{Y)}}{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum(X_i-\overline X)^2}}}=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_iy_i}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i^2}

因为:

\widehat\beta=\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}=\frac{\sum x_i(Y_i-\overline Y)}{\sum x_i^2}=\frac{\sum x_iY_i}{\sum x_i^2}-\frac{\overline Y\sum x_i}{\sum x_i^2}

因为 \sum x_i=0 ,并令 k_i=\frac{x_i}{\sum x_i^2} ,可得:

\widehat\beta=\sum k_iY_i

所以,估计量 \widehat\beta 的方差为:

Var(\widehat\beta)=\frac{\sum x_i^2}{(\sum x_i^2)^2}\cdot\sigma^2=\frac{\sigma^2}{\sum x_i^2}
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